Архив Галактики

Что общего между снежинкой и оп-артом?

Блог тренера / 12.12.2015

Этот пост - для тех , кто захочет провести с учениками практикум по подобию в Geogebra. Об идеях подобия и самоподобия, частным случаем которых являются фракталы, нужно не только рассказывать и показывать фильмы. Они заложенных в самой природе, они используются человеком для создания всего прекрасного в этом мире. Почему бы ученикам не попробовать самим сделать такой объект? Материалом может быть все что угодно: и сезонные объекты (листья, растения, снежинки...), и арт-объекты, и архитектурные сооружения...
Прошлой зимой мы делали снежинки в Desmos, попробуем теперь создать ее в GeoGebra, используя преобразования гомотетии (подобия)...
Cимметрия в Geogebra и Desmos: цветы и снежинки
Анимированные объекты в Desmos. Как заставить снежинку мерцать?

Часть первая. Гомотетия (подобие) объекта относительно точки

1. Найдите в интернете картинку со снежинкой без фона (прозрачную).
   Второй способ - создать прозрачную картинку со снежинкой самому. Это можно сделать здесь, инструкция, как это сделать. Там же можно найти галерею уже готовых снежинок, которые кто-то уже вырезал до вас.
   
   
2. Сохраните на своем компьютере и загрузите ее в файл GeoGebra. Обратите внимание на имя, которое будет присвоено вашей картинке для дальнейших манипуляций с этим объектом (это делается автоматически и может иметь вид: картинка1, рисунок1, pic1)
3. Поставьте точку С .
   
4. В меню выберите инструмент “Гомотетия относительно точки”
5. Укажите объект - картинку, точку С и задайте коэффициент гомотетии (подобия).
   
6. Введите ползунок k
7. Последовательность таких картинок можно получить, записав в строку ввода команду: Последовательность[Гомотетия[картинка1,0.7^n,C],n,1,k]
   
   
   *Если работаете с английскими языковыми настройками (UK), то команда будет выглядеть так:
   Sequence[Enlarge[pic1, 0.7^n, C], n, 1, k]
8. Число k указывает на количество копий, 0.7 - коэффициент гомотетии (подобия)
   
   *Если коэффициент гомотетии меньше единицы (как в нашем примере), то клоны первоначальной снежинки будут уменьшаться в размерах, если больше, то, соответственно, увеличиваться. Убедитесь в этом сами, изменяя в команде коэффициент с 0.7, например, на 1.2
   
   
   
9. Результат будет такой
10. Передвигая ползунок, убедитесь, как меняется число снежинок, подобных исходной.

1. Откройте новый файл в GeoGebra.
2. Сохраните прозрачную картинку с изображением снежинки на своем компьютере и вставьте ее в файл GeoGebra.
3. На панели инструментов найдите многоугольники и выберите в меню правильный многоугольник.
4. Поставьте две точки в произвольном месте плоскости. Всплывшее меню предложит ввести количество вершин (оно может равняться 3,4,5,6,7,8, и т.д.). *Чем больше вершин, тем красивее снежинка.
   
5. Введите ползунок k
6. В центр вашего многоугольника вставьте картинку со снежинкой.
7. Повторите упражнение 1 несколько раз, последовательно меняя центры гомотетий (подобия). В качестве центров перечисляются вершины вашего многоугольника. Сколько вершин - столько записей для команд, например, 8 вершин - 8 записей
   Последовательность[Гомотетия[картинка1,0.7^n,D],n,1,k]
   Последовательность[Гомотетия[картинка1,0.7^n,E],n,1,k]
   и т.д.
   
8. Скройте все дополнительные построения (точки, многоугольники и все, что вы использовали для построения)
   
9. Снежинка готова
10. Если задать еще и внутренний 8-угольник, и повторить все преобразования гомотетии для центров, которые находятся в его вершинах, то получим более сложную снежинку
    

• Ползунок k
• Списки и гомотетия Sequence[Enlarge[pic1, 0.9^n, C], n, 1, k]
• Осевая симметрия (изначально cтроится только четверть картины, потом отражается относительно осей)

• Шаблон в Google Drawings
• Ползунок k
• Списки и гомотетия Sequence[Enlarge[pic1, 0.9^n, C], n, 1, k]
• Списки и поворот Sequence[Rotate[Element[list1, i], (i 2 π) / 180, C], i, 1, k, 1]