Архив Галактики

STEAM-проект: снежинка Коха, треугольник Серпинского и другие фрактальные объекты в GeoGebra

Блог тренера / 16.09.2015

Все чаще звучит мысль, что результаты обучения по математике формируются не только при решении типовых задач-упражнений из учебника, а также в практической и исследовательской работе с целой группой понятий и тем, ранее не входивших ни в программы, ни в учебники по этому предмету. Такие понятия как форма, функция, система, порядок и организация могут осваиваться учащимися в теме "Фракталы".

Снежинка Коха является одним из первых исследованных учеными фракталов (подробности). Принцип ее построения заключается в том, что на каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее исходного отрезка. Попробуем создать пользовательский инструмент в GeoGebra, который бы заменял отрезок на такую ломаную.
На первом этапе нам нужно решить задачу о делении отрезка на три равные части. Это известная геометрическая задача, которую решают школьники 6-7 классов с помощью циркуля и линейки. Затем на среднем из отрезков строится равносторонний треугольник и через полученные точки проводится ломаная. Она и будет результатом (выходом) всех преобразований.
Если мы представим наш инструмент в виде волшебной палочки, которая прикасается последовательно к двум концам отрезка, то результат ее воздействия может быть изображен так:


Итак, создаем волшебную палочку ломаная Коха!

1. Построим отрезок АВ и проведем к нему перпендикулярную прямую в одном из концов этого отрезка (прямая может и не быть обязательно перпендикуляром, достаточно любого луча через конец отрезка, тем не менее, в GeoGebra лучше использовать именно перпендикуляр, так как он задается самим отрезком, не требуя лишних элементов на входе).


2. Отложим на перпендикуляре три равных отрезка (инструмент: окружность).


3. Соединим прямой EB последнюю отложенную на перпендикуляре точку и второй конец исходного отрезка.


4. Через другие две точки, отложенные на перпендикуляре, проведем прямые параллельные EB.


5. Отметим точки F и G - результат пересечения этих прямых с исходным отрезком АВ.


6. Скроем все дополнительные построения. Первый этап выполнен - мы поделили исходный отрезок на три равные части.


7. Теперь нам нужно на среднем из отрезков построить равносторонний треугольник. Для этого мы найдем его вершину (инструмент: серединный перпендикуляр к отрезку). Для нахождения вершины осталось провести окружности равных радиусов с центрами в F и G.


8. Вновь скрываем дополнительные построения и последовательно соединяем ломаной все полученные точки (инструмент: многоугольник)


9. Окрасим полученный многоугольник в нужный цвет (контур и заливка)


10. Создадим пользовательский инструмент: линия Коха. На входе точки А и В - концы отрезка. На выходе - многоугольник с отмеченными на нем вершинами. Точки вершин нужны нам отмеченными, иначе при прикосновении нашей "волшебной палочки" к концам отрезка можно промахнуться

Результат построения может быть таким:

Cнежинка Коха, созданная при помощи инструмента "Ломаная Коха"


Треугольник Серпинского

Точно так же в geogebra можно создать пользовательский инструмент Треугольник Серпинского. Только теперь наш инструмент "волшебная палочка" должна будет касаться последовательно трех вершин треугольника, деля его на четыре равных малых треугольника и окрашивая так, как показано на рисунке:


Результат трехэтапного применения инструмента можно видеть здесь:


Видео, как построить треугольник Серпинского в GeoGebra

Творчество не знает ограничений, вот такую пирамиду Серпинского собрали в классе американские школьники.

С треугольником Серпинского и снежинкой Коха, как примерами фракталов, можно работать как в специальных программах, так и на бумаге. Какие же предметные компетенции закладываются как результаты обучения в такой учебной активности?

• Распознавание геометрических фигур и структур в окружающей среде;
• Применение перемещений, отражений и поворотов при создании форм, обладающих симметрией;
• Исследование, описание и установление результатов деления, объединения, и превращения фигур;
• Определение и описание осевой и поворотной симметрии в двух- и трехмерных формах и конструкциях;
• Распознавание и применение геометрических понятий и отношений в областях, находящихся за пределами математики, таких как искусство, архитектура, наука и повседневная жизнь;
• Распознавание линейных или нелинейных функций, определение их свойств из таблиц, графиков или уравнений;
• Использование символических выражений, в том числе, итерационных и рекурсивных, представление форм и отношений, возникающих в различных контекстах.