Суха теория, мой друг, а древо жизни вечно зеленеет... Блог тренера / 18.04.2016 Некоторое время назад был пост о спиралях, в том числе, о Спирали Фибоначчи: STEAM-проект: по спирали!. А недавно - еще один Спирали и спирографы: джазовые импровизации в GeoGebra.Но есть и другие виды спиралей, например, спираль Пифагора и его разновидность - дерево Пифагора - фрактал, построенный на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны». Существует одно из множества доказательств теоремы Пифагора с таким названием. Динамический апплет: Доказательство теоремы Пифагора См. также пост на Галактике: STEAM-проект: снежинка Коха, треугольник Серпинского и другие фрактальные объекты в GeoGebraMel Bochner, 2006К дереву Пифагора обращаются и художник, и математики... Для математиков важно, что все это - фрактальные объекты, самоподобные объекты, которые получаются последовательным применением некоторого правила ветвления. Попробуем создать самыми простыми средствами инструмент для фрактального наращивания дерева Пифагора в GeoGebra.Ключевые понятия для создания пользовательского инструмента: входные объекты выходные объекты Создадим пользовательский инструмент для фрактального наращивания дерева.Построим на отрезке АВ полуокружность, на которой разместим третью вершину будущего треугольника - С. По известной теореме Фалеса, он всегда будет прямоугольным, в каком бы месте на окружности не располагалась вершина С. "Обведем" полученные вершины, треугольник построен.На каждой стороне построим квадрат с помощью обычных аналогов циркуля и линейки - инструментов на специальной панели. Использованные инструменты: перпендикуляр к прямой, окружность через центр и точку, точка пересечения объектов. Один из возможных способов построения квадрата в GeoGebra описан здесь. Треугольник - основа, на которой мы достроили как раз тем самые "пифагоровы штаны" - три квадрата со сторонами, соответственно равными двум катетам и гипотенузе треугольника.Подготовка к созданию инструмента завершена. Теперь оформим инструмент и сохраним его в специальном формате ggt на https://tube.geogebra.org. входные объекты: Точки А и В выходные объекты: многоугольники (в данном случае, это квадраты, их три) и их вершины (всего их шесть). Вершины квадратов являются обязательными выходными объектами, так как последующие ветвления дерева должны на чем-то "укореняться" (по ним мы будем потом кликать, "прививая" новые ветви)!Cоздание и сохранение инструмента в хранилище https://tube.geogebra.orgПрименим несколько раз созданный инструмент, наращивая новые ветки на наши дерево.Затем файл с деревом мы сохраним в формате ggb на той же https://tube.geogebra.org. Дерево Пифагора. АпплетАпплет готов к использованию: в нем можно "нарастить" дерево. Для этого на панели инструментов оставлен один единственный инструмент - это наш пользовательский инструмент. Как работать с апплетом? Сначала выберите инструмент на панели (собственно, он там один), потом - две точки на объекте (вершины квадрата). Точки важно выбирать, двигаясь слева направо. Инструмент "нарастит" пифагорово дерево еще на один прямоугольный треугольник, с квадратами, построенными на его катетах и гипотенузе. Операцию можно повторять бесконечно... Перемещая мышкой красную точку, можно заставить дерево менять форму и размер его ветвей. Предварительно нажмите на значок перемещение на панели инструментов. Фрактальное деревоСпираль ПифагораЕсть масса примеров фрактальных деревьев и спиралей. Они созданы по тому же принципу. Самые разветвленные - с помощью списков.Вот пример:Т-квадрат от Людмилы Свириной.Самое интересное, что в этой теме фрактальных деревьев есть возможность развернуться всем: и математикам (поскольку все построения для создания пользовательского инструмента - сплошная геометрия), и информатикам (поскольку замечательные деревья можно программировать на разных языках, в том числе, в GeoGebra с помощью списков), и преподавателям искусства, и биологам... Правда, зачем им это, пусть они расскажут сами...Полезные ссылки по темеКартины и визуализации дерева ПифагораДерево Пифагора. Интерактивный плакатПриключения в математическом лесу фрактальных деревьевВидео с построением дерева ПифагораИнтерактивный конструктор (Flash) и несколько плакатовИнтересный факт:Cтатьи по STEAM/STREAM проектамМатематика в стиле "мондриан" и "клее"Математика и абстрактное искусство в STREAM-проектеИдеи в духе STEAM: геометрический конструктор на основе рисунков GoogleИдеи в духе STEAM: PicassoHead как конструкторПостер как форма упаковки информации в STREAM-проекте: Колдер и ВазарелиSTEAM-проект: генератор Кандинского и другие интерактивные апплеты в GeoGebraSTEAM-проект: черный квадрат Малевича в Desmos и GeoGebraSTEAM-проект: треугольник в GeoGebra, как получить картину?STEAM-проект: мозаики Эшера в GeoGebraSTEAM-проект: задачи на картинахПаркеты и площади в DesmosSTEAM-проект: снежинка Коха, треугольник Серпинского и другие фрактальные объекты в GeoGebraSTEAM-проект: по спирали!Рисуем мандалы в GeoGebra, или Чудо поворотной симметрииУрок виртуальной кройки: клетка, полоска, узор...Кривые Безье и воспроизведение картин оп-арта в GeoGebraГеометрия лоскутного одеяла: новые идеи...Богатая математика - бедная математикаКакая математика бывает на картинах?Спирали и спирографы: джазовые импровизации в GeoGebraНаш ответ ФибоначчиЧто общего между снежинкой и оп-артом?"Случайная" красота в GeoGebraБыстрый старт в Geogebra: зимняя темаМного красного: стратегии поискаС тегом Art в GeoGebraНациональный орнамент и математикаПрекрасная геометрия на бумаге и не только...Cмотри в зеркало, или Задачи на осевую симметрию в GeogebraКонструкторы узоров для текстиля. Часть первая: рисунки Сони Делоне"Угадать" ситчик! Ткани Варвары Степановой и Любови ПоповойВесенняя тема: создаем банданы и образцы ткани с "огурцами""Бумага" и "цифра" вместе...Математика и искусство — переплетение возможно!АРТ-математика: воплощаются ли идеи?Ловим рыбку в море, или Игры, пазлы, мультики в GeoGebraИскусство и ремёсла. Уильям Моррис. STEAM STEM искусство математика спираль фрактал