Архив Галактики

Плач по полярным координатам

Попытка номер два... / 04.08.2016

Эпиграф:
У-у-у-у-у!!! Ну почему-у-у-у-у!!! Почему это не изучается в школе!!!

Полярные координаты я изучала в университете. Уже тогда, увидев красоту и необычность графиков, завороженная рутинными расчетами, из которых вдруг вырастали замысловатые линии, задавала вопросы преподавателям: почему этой темы нет в школьной программе.

Более 10 лет прошло от одного очень неприятного события. Нашей старшей дочери, как успевающей преимущественно на пятерки (с редкими четверками), было позволено сдавать экзамены по выбору за 9 класс в форме реферата. Наш детёныш выбрал геометрию, а так как учительница по математике в тот год постоянно была на больничном, директор школы (сама математик) позволила нам самим выбрать или сформулировать тему. В сборнике с рекомендованными темами перечень был невыразимо скучным: задачи на треугольники, решение задач на движение векторным способом, расчет площадей фигур неправильной формы и т.п. Дочка не высказала никакого энтузиазма и я подсунула ей учебник по геометрии для техникумов. Там были конические сечения, полярные координаты, расчет сопряжений и прочие, не входящие в школьную программу, вещи. Остановились на двух темах: конические сечения и полярные координаты, написали план работ, подобрали кое-какие пособия, сформулировали перечень задач для самостоятельного изучения. Директор одобрила, а вышедшая с больничного учитель категорически отказала. Не помогли ни уговоры директора, ни даже вмешательство городского методиста. Пока шли дебаты, дочка почти написала реферат: более десятка графиков в полярных координатах, несколько страниц расчетов (таблицы Брадиса плюс самостоятельное освоение Excel). В итоге сдавала экзамен по билетам.
Примерно в то же время на уроках информатики и технологии стала предлагать задания на полярные координаты при изучении электронных таблиц. Тогда поняла, насколько благодатна эта тема: тут и тригонометрические функции, и многочисленные формулы, и преобразования формул, и исследование функций. Некоторые учащиеся, "пробуксовывавшие" на уроках математики, вдруг воодушевились. Девчонки такие "кружева" выплетали, что хотелось их куда-то в дело применить.

Время идет, а полярные координаты до сих пор остаются за пределами школьного курса. Однако, введение школьного компонента учебного плана, элективные курсы, кружковые объединения, а теперь часы внеурочной деятельности, обязательные по ФГОС второго поколения, открывают для педагогов возможности по ознакомлению учащихся с этим особым видом представления положения точки на плоскости. Средства ИКТ берут рутинную работу по получению и изменению координат на себя, а учащимся под руководством педагога остается более интеллектуальная и творческая часть - исследование, изменение, прогнозирование.

Функции в полярных координатах
а) достаточно сложны, чтобы заранее представить вид графика было нелегко;
б) имеют красивые графики, которые невозможно построить в декартовых координатах;
в) за счет специфичности построения заставляют думать;
г) значения вычисляются на калькуляторах с преогромным трудом;
д) интересны как программистская задача;
е) можно реализовать на бумаге, в электронных таблицах, на любом языке программирования.

Откуда родился этот документ
В сети натолкнулась на "хулиганский" материал про каннаболу здесь.

Очень интересная задача с математической точки зрения (и, наверное, с какими-нибудь особенными детьми - с педагогической).

Хотя за коноплю обидно. Еще 100 лет назад Россия была крупнейшим мировым поставщиком пеньки (без которой невозможно судоходство), вкуснейшего конопляного масла и семечек, конопляных тканей. Буквально лет 20 назад в деревнях выращивали коноплю на семечки и зеленую массу, которая была питательной и витаминной пищей для скота и птицы.

Так как сейчас активно осваиваю Pencil Code, решила построить график в этой среде. Результат можно увидеть по ссылке.
Код небольшой по объему и совершенно несложен, а картинка получается очень интересная. Этот пример можно предложить даже маленьким детям (5-6 класс) и попросить внести изменения в коэффициенты формулы, посмотреть, что будет происходить с изображением (конечно, объявлять им, что это конопляный лист, совершенно необязательно - пусть будет клен, или каштан, или еще какое-нибудь декоративное растение).

В Google-сообществе активно развивается тема Pencil Code, при этом оформились не только алгоритмические и инструментальные направления работы, но и поиск интересных, красочных и содержательных образцов для построения: тема пейзажа, смайликов (разработки Людмилы Рождественской), цветы, орнаменты (Ирина Афонина), мандалы, "точечное" и "капельное" рисование (Кристина Торопова), фракталы (Ольга Тузова), пост о "клеточном" рисовании. Подключиться к обсуждению можно в сообществе G+ "Signum" и в теме "Карандашное программирование" на Галактике.
Построение графиков функций в полярных координатах может стать еще одним направлением развития темы.

После этого стала собирать по сети все, что показалось интересным в связи с полярными координатами, сразу нашла то, что подходит к теме: построение элементов растений.

Замечательная презентация о полярных координатах с красивыми примерами графиков и, главное - примерами самих функций. Сделано учащимися Ломоносовской школы № 3 под руководством Е. В. Тороповой.

Из этой презентации узнала о таких группах кривых, как кривые Хабенихта и розы Гранди. Не очень много материалов в сети, что делает их особо ценными и мотивирует на поиск в печатных источниках о Б. Хабенихте, чьи интересы находились на стыке математики и биологии. Он задался целью описать контуры листьев растений математическими кривыми, среди его достижений - уравнения для листьев плюща, кислицы, стрелолиста, кувшинки, а также того самого растения, которое он назвал кленом, но некоторые считают коноплей.

Очень насыщенный и красиво сделанный сайт, в котором материал хорошо сбалансирован по объему и качеству (ссылка).

Отдельная тема - построение цветов и бабочек. Тоже можно найти без труда, и в упомянутой презентации их много.

О применении полярных координат можно отдельно поговорить, но сферы применения явно выходят за курс школьной программы и могут стать предметом факультативного изучения. Для начала можно посмотреть раздел “применение” хотя бы в Википедии.

Легко ищутся по ссылкам общеизвестные классические примеры: спираль Архимеда, кардиоида, трохоида, полярная роза, лемниската Бернулли.

Алгебраические кривые. О них можно посмотреть в презентации, выполненной группой восьмиклассников под руководством Е. П. Ахонена. Ссылка.

Для построения этих кривых в Pencil Code необходимы минимальные усилия: подставить уравнение кривой в полярных координатах и, если необходимо, масштабировать изображение.

Примеры построений:

Полярная Роза

Листья:
плющ, кувшинка

бабочка

Важнее всего - что с этим делать дальше?

• изменять коэффициенты, множители, углы - смотреть, что получится.

• комбинировать изображения

• наблюдать, что происходит на малой скорости с шагом приращения угла

• прогнозировать, что будет происходить при внесении изменений в настройки

• менять ориентацию элементов, влияя на настройки

• менять конфигурацию, управляя множителями и слагаемыми

• учиться переопределять координаты, чтобы строить несколько изображений на одном листе

• анализировать цикл, чтобы вносить изменения в тело цикла (минимум - управлять цветом, максимум - переключаться из одного графика на другой)

• самостоятельно искать (придумывать) примеры и изучать их

• переносить результаты в другие среды: электронные таблицы, системы интерактивной геометрии (например, Desmos), сравнивать полученные результаты, строить в онлайн-графопостроителях (например, Yotx)

• изучать принцип действия спирографа спирограф

• изучать конкретное применение в различных сферах деятельности человека, объединяя знания по биологии, физике, ОБЖ, географии и т.п. ( ссылка)