Архив Галактики

Крушение иллюзий (часть 2)

ConfNina's Блог / 13.08.2016

В чём же сущность проблемы компьютерных вычислений?

Ранее мы заметили, что вычисления на компьютере порой приводят к результатам, противоречащим законам математики.
Чтобы убедиться не в случайном характере происходящего, продолжим наши исследования.

Пример 3. Следующее исследование связано с решением квадратного уравнения



Сравним значения младшего корня уравнения, проводя вычисления по двум различным, но тождественным, формулам:





Оказывается, более точный результат дает формула (3).

Вопрос для исследования: Что же получается: неужели известная нам из курса математики формула решения квадратного уравнения (2) не годится для вычислений на компьютере?!

Предложите учащимся составить план проведения широкомасштабного компьютерного эксперимента с целью определения зависимости между значениями переменных p и q и формулами (2) и (3). Нас интересует ответ на вопрос, при каких значениях p и q лучше использовать школьную формулу (2), а при каких – новую формулу (3).
Затем нужно составить универсальную программу решения квадратного уравнения , которая будет выдавать на печать предельно точные значения корней.

В чём учащиеся видят проблему компьютерных вычислений?

Поиграем? Предложите командам подготовить примеры компьютерных парадоксов. Побеждает та команда, у которой число парадоксов окажется больше.
Ниже приводятся некоторые примеры, предложенные учащимися.



Работая над собственными примерами, ученики ищут пути решения выявленной проблемы (хотя такая задача еще не поставлена учителем):



Итак, проблема есть, но, может быть, она не столь важна?

Важно приучать школьников к особой скрупулезности и щепетильности при работе с компьютером. Наиболее внимательным следует быть при вводе исходной информации. Незначительные изменения в исходных данных могут привести к значительной погрешности в результате. Очень убедительно это демонстрирует следующий пример.
Решим “вручную” систему уравнений (например, методом алгебраического сложения): . Её решение: (5; 3).
Нечаянно или умышленно ошибёмся при записи второго уравнения системы: . Её решение: (17; 0).
Решение системы: (29; -3).
Решение системы: (1; 4).

Ученики еще долго экспериментируют с коэффициентами системы уравнений и сами делают выводы: нужно следить за точностью исходных данных и, если учесть, что эти данные могут быть результатами решения некоторой задачи, то нужно использовать эффективные методы получения более точных результатов.

Убедительны примеры из истории развития компьютеров, свидетельствующие о последствиях серьезных компьютерных ошибок. Например:
Источник

Источник

Вопросы для исследования: Когда возникают ошибки при компьютерных вычислениях? Какие примеры из истории развития компьютеров показывают важность достижения высокой точности вычислений?

Итак, проблема важна, но где же её решение?

Многие предложения по совершенствованию компьютерных вычислений учащиеся могут предложить сами, анализируя результаты написанных ранее программ.
Например,


Эти советы учащиеся получили при анализе программ: совет 1 - пример 2 (программа Z4.pas), совет 2 - пример 3 (программа Z5.pas), программы Z7.pas, Z8.pas, совет 3 - пример 3 (программа Z5.pas).

Резюме

Заинтересованный Читатель, обдумывая значимость представленного в статье материала, определяет возможные пути его использования. В данном случае, возможны варианты:
1) кружковые, или иные, занятия для подготовки учащихся к участию в олимпиадах по программированию (есть целый ряд задач, для решения которых требуется описанный подход);
2) учебный проект, назовем его условно "Компьютер-супервычислитель", основополагающий вопрос которого: как научить компьютер работать без ошибок? проблемные вопросы: 1) с какими проблемами можно столкнуться в компьютерных вычислениях; 2) как избежать этих проблем; 3) почему это важно?
3) стартапы, флешмобы, игры и т.д. для разработки стратегии проведения эффективных компьютерных вычислений.

Вне обсуждения в статье остался важный вопрос: ПОЧЕМУ? В чем источник возникающих проблем? Автор полагает, что учащиеся сами найдут ответ на данный вопрос в силу знакомства со способами представления информации в памяти компьютера. В противном случае, это может явиться темой отдельного исследования (отдельным проблемным вопросом учебного проекта).

Литература:
Макарова Н.П. Крушение иллюзий (часть 1), ссылка
Цена ошибки: самые серьезные компьютерные сбои, ссылка
Ошибки, о которых мало кто задумывается, ссылка
Роковые ошибки компьютеров, ссылка
Практические приемы уменьшения погрешностей, ссылка
Поляков К.Ю. и др. Компьютерная арифметика, ссылка
Компьютерная арифметика, ссылка
Столярчук В.А. Численные методы. материалы к занятиях. Тема 1. Ошибки, ссылка