Архив Галактики

Крушение иллюзий (часть 1)

ConfNina's Блог / 12.08.2016

Наша задача - увидеть проблему

Из курса математики известны факты, к которым мы настолько привыкли, что считаем их очевидными. Среди них известные формулы, законы, тождества. Например,


Вы можете сами привести множество подобных числовых и буквенных равенств.
Однако, каково же бывает удивление школьников (да и учителей), когда при выполнении вычислений с помощью компьютера, они сталкиваются с противоречиями известным канонам! Приведем примеры.

Пример 1. Как известно:


Поручим компьютеру вычисление произведения
(1)

Текст программы и протокол ее работы:


При выполнении программы, как видно из протокола ее работы, не всегда получается правильный ответ 1.

Вопрос для исследования: сколько существует чисел, при которых произведение (1) дает неправильный результат?

Исследование:
Будем вводить значение N и затем вычислять всевозможные произведения вида (1), проверять результат на равенство единице и подсчитывать число "плохих результатов:



Протокол работы программы Z2.pas:


А сейчас - работа в 12 рук: каждый участник команды проводит машинный эксперимент для проверки справедливости равенства (вернее, неравенства) и делится своими выводами.



Результаты моей работы:


Программа и протокол ее работы:



Какая из выбранных вычислительных схем дает более точный результат?


Пример 2. Вычислим значение суммы

.

Заметим, что
.

1,99 - точный результат. А какой результат даст компьютер?
Посчитаем сумму, добавляя по одному слагаемому, передвигаясь слева направо (сумма S) и затем при движении справа налево (сумма S1):



Оказывается, что на значение результата влияет схема вычислений, порядок выполнения действий. В данном случае более точный результат будет получен при выполнении суммирования справа налево!

Вопрос для исследования: это - единственная "странная" сумма, или есть еще другие?

Проверим это, например, на таких суммах:



Здесь точный результат дан для учителя. Ученики должны сами получить эти формулы.

Продолжение следует...